巴塞尔问题 $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=?$

  这个问题最先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出,最终由欧拉在1735年解决。这个问题曾难倒了众多数学家,因此,欧拉一解决这个问题便名声大噪。
后文将用到这一求和的结果。

欧拉最初的解法为:

利用正弦级数:$\sin{x}=x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

得到:
$$
f(x)=\frac{\sin{x}}{x}=1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots
$$

$f(x)=0$的解集为:$x = \pm n\pi, x=0,1,2,3,\cdots$

于是,欧拉大胆地将$\frac{\sin{x}}{x}$表示为下列连乘式:
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin{x}}{x}&=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{2\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})\cdots\\
&=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{4\pi^2})(1-\frac{x^2}{9\pi^2})(1-\frac{x^2}{16\pi^2})\cdots
\end{aligned}
$$
根据根与系数的关系,对于二次多项式有
$$
-(\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{4\pi^2}+\frac{1}{9\pi^2}+\frac{1}{16\pi^2}+\cdots)=-\frac{1}{3!}
$$
两边同乘以$\pi^2$即得:
$$
\begin{align}
1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}
\end{align}
$$

后来,欧拉将这一问题扩展为:
$$
1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots=?
$$
并给出了s为偶数时的解。

德拜热容公式中的积分$\int_0^\infty{\frac{\xi^4e^\xi}{(e^\xi-1)^2}d\xi}$

$$
\begin{aligned}
\int_0^\infty{\frac{\xi^4e^\xi}{(e^\xi-1)^2}d\xi}&=-\int_0^\infty{\xi^4d{(e^\xi-1)^{-1}}}\\
&=4\int_0^\infty{\frac{\xi^3}{e^\xi-1}}d\xi
=4\int_0^\infty{\frac{\xi^3e^{-\xi}}{1-e^{-\xi}}}d\xi\\
&=4\sum_{k=1}^{\infty}\int_0^\infty\xi^3e^{-k\xi}d\xi,\quad(利用\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots)
\end{aligned}
$$
其中
$$
\begin{aligned}
\int_0^\infty\xi^3e^{-k\xi}d\xi&=\frac{1}{k^4}\int_0^\infty{(k\xi)}^3e^{-k\xi}d(k\xi)\\
&=\frac{1}{k^4}\int_0^\infty{y}^3e^{-y}dy\\
&=\frac{3!}{k^4}
\end{aligned}
$$
利用 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}​$, 上述积分结果为:
$$
\begin{align}
4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{6}{k^4}=24\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{4\pi^4}{15}
\end{align}
$$

费米统计积分$\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\xi^2d\xi}{(e^\xi+1)(e^{-\xi}+1)}}$

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{x^2dx}{(e^x+1)(e^{-x}+1)}}&=2\int_{0}^{+\infty}{\frac{x^2e^{x}dx}{(e^x+1)^2}}\\
&=-2\int_{0}^{\infty}{x^2d(e^x+1)^{-1}}\\
&=4\int_{0}^{\infty}{\frac{x dx}{e^x+1}}\\
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\frac{x}{e^x+1}&=\frac{x e^{-x}}{1+e^{-x}}=xe^x(1-e^{-x}+e^{-2x}-\cdots)\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}xe^{-kx}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\infty}\frac{xdx}{e^x+1}&=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\int_{0}^{\infty}xe^{-kx}dx\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k^2}\int_{0}^{\infty}ye^{-y}dy\\
&=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k^2}\\
&= \frac{\pi^2}{12}
\end{aligned}
$$


$$
\begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\xi^2d\xi}{(e^\xi+1)(e^{-\xi}+1)}}=4\int_{0}^{\infty}{\frac{x dx}{e^x+1}}=\frac{\pi^2}{3}
\end{align}
$$